Thème 1 : Enseignement et apprentissage de l’Analyse à la transition secondaire – supérieur et dans le supérieur – relations avec l’enseignement de la Physique – études épistémologiques et didactiques – développement d’ingénieries didactiques – propositions curriculaires
Responsables : Patrick Gibel (Université de Bordeaux)- Fabrice Vandebrouck (Université de Paris)
Contexte
L’analyse est l’un des plus importants domaines des mathématiques enseignées dans l’enseignement supérieur, notamment au début de l’université, en lien avec d’autres disciplines, notamment la physique. Alors que ce domaine semble se situer en continuité avec le domaine du même nom dans l’enseignement secondaire, il est source de multiples difficultés d’ordres conceptuels et techniques qui contribuent fréquemment à mettre les étudiants de première année de licence en situation d’échec à l’entrée à l’université. Ces difficultés sont déjà bien connues avec des travaux de synthèse dans la communauté didactique nationale et internationale (Artigue, Batanero & Kent, 2007 ; Rasmussen & Borba, 2014 ; Kuzniak, Montoya, Vandebrouck & Vivier, 2015 ; Bloch & Gibel, 2016 ; Winsløw, Gueudet, Hochmut, & Nardi, 2018 ; Gueudet & Thomas, 2018 ; Vandebrouck, Hanke & Martinez-Planell, 2021).
Axes de travail et méthodologie
L’objectif de ce thème est d’investir les challenge de l’enseignement et l’apprentissage de l’analyse au début de l’université, en continuité avec les pratiques et apprentissages au lycée, en lien avec la physique, en tenant compte du paysage actuel de l’enseignement supérieur (spécificité du public, interactions entre les disciplines…) et des moyens contemporains, notamment les nouvelles ressources numériques.
Les questions à l’étude ont déjà été travaillées au cours de la préparation du projet, donnant lieu déjà à des collaborations, à des communications – en particulier aux colloques du réseau INDRUM – et à des publications. Elles concernent plus précisément :
- le rôle de la conceptualisation du continu (en particulier de la complétude de l’ensemble R des nombres réels vis à vis de la topologie usuelle de l’ordre) dans l’appropriation des concepts de l’analyse enseignés en licence (Bergé 2016 ; Durand-Guerrier & Vivier, 2016)
- le rôle des représentations sémiotiques et de leur visualisation, la compréhension des relations entre les points de vue ponctuel, global, local (et infinitésimal) sur les représentations des objets de l’analyse, avec notamment la place des outils numériques et leur rôle dans l’enseignement et les apprentissages (Montoya Delgadillo, Páez Murillo, Vandebrouck, Vivier, 2018)
- les enjeux de l’entrée dans le système de preuve spécifique de l’analyse avec ses modes d’expressions spécifiques (modes de raisonnement, formalisation, quantification…) et les liens problématiques avec l’ordre, l’approximation numérique, l’intuition, la visualisation (Bloch et Gibel, 2011 ; Rogalski, 2016 ; Chorlay, 2018)
- les liens entre l’analyse et les autres domaines mathématiques, notamment le numérique (la mesure des grandeurs provenant pour certaines de la physique…), l’algèbre (le calculus, la reconnaissance de formes dans les formules algébriques… cf Vandebrouck et Leidwanger, 2016), la géométrie (mesure des aires et intégrales…) et les probabilités (intégrales et probabilités continues notamment) (Derouet, 2018 ; Hausberger, Derouet, Hochmuth, & Planchon, 2021).
- les lien entre l’analyse et la physique (et les autres disciplines), par exemple l’enseignement et l’apprentissage des intégrales ou des équations différentielles en licence en lien avec la modélisation de situations empruntées à la physique, la mesure et les incertitudes en physique, les courbes paramétrées et les trajectoires de mobiles en physique, les adaptations des mathématiques apportées à l’enseignement et l’apprentissage en économie.
Les études conduites comprennent plusieurs étapes méthodologiques articulées avec certains des autres thèmes :
- L’analyse épistémologique et mathématique des concepts en jeu et de leurs interrelations, incluant les études d’épistémologie contemporaine prenant en compte l’activité effective des chercheurs ;
- L’étude de pratiques enseignantes par des observations in vivo (amphi et TD), avec enregistrements vidéos et entretiens, et étude des effets potentiels sur les apprentissages des étudiants en lien avec le thème 5 ;
- L’étude didactique et cognitive (modes de raisonnement notamment) de l’activité des étudiants en classe (amphi et TD) et hors classe (observation de binôme ou de petits groupes d’étudiants en situation de résolution de problèmes et d’élaboration de preuves, en lien avec le thème 4) ;
Pistes de recherches
Les pistes sont nombreuses, pour des travaux de nouveaux doctorants notamment
- Le rôle des instruments (aspects visualisation / dynamisme / spécificités tablettes, voire instruments historiques) dans l’apprentissage de concepts ou dans les pratiques des élèves concernant le calculus
- L’enseignement de notions d’analyse (les pratiques des enseignants, compartimentalisation…), liens avec les conceptualisations et les pratiques des élèves
- Les ingénieries didactiques…
Retombées attendues
Les retombées attendues sont en termes d’ingénieries et de projets pédagogiques innovants, en étroite collaboration avec les enseignants de Licence de mathématiques et de physique, reposant sur diverses organisations mathématiques et didactiques selon les objectifs et les publics, privilégiant l’utilisation de cadres et de registres variés (numériques, algébriques, graphiques, géométriques) en vue de faciliter la compréhension fine des concepts en jeu, incluant des recours possibles à des outils technologiques et des logiciels. Cela inclut aussi des analyses de leurs mises en œuvre et de leurs effets sur les apprentissages effectifs des étudiants, notamment par des analyses didactiques des raisonnements valides et erronés produits par les étudiants.
Références
Artigue M., Batanero C., & Kent P. (2007). Learning mathematics at post-secondary level. In F. Lester (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 1011- 1049. Information Age Publishing, Inc., Greenwich, Connecticut.
Bergé, A. (2016) Le rôle de la borne supérieure (ou supremum) dans l’apprentissage du système des nombres réels, Proceedings of the First Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2016, 31 March-2 April 2016) (pp. 33-42). Montpellier, France: University of Montpellier and INDRUM.
Bloch I., Gibel, P. (2019). A model to analyze the complexity of calculus knowledge at the beginning of University course – presentation and examples, Annales de didactique et de sciences cognitives. 24, 183-205.
Bloch I., Gibel, P. (2011). Un modèle d’analyse des raisonnements dans les situations didactiques : étude des niveaux de preuves dans une situation d’enseignement de la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, 31-2, pp 191-228, La Pensée Sauvage, Grenoble
Bloch I., Gibel, P. (2016). A model to analyse the complexity of calculus knowledge at the beginning of University course. Proceedings of the First Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2016, 31 March-2 April 2016) (pp. 43-52). Montpellier, France: University of Montpellier and INDRUM.
Chorlay, R. (2018). An empirical study of the understanding of formal propositions about sequences, with a focus on infinite limits. Proceedings of INDRUM 2018 Second conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics, 5-7 April 2018, Kristiansand, to appear.
Derouet, C. (2018, en relecture), Une séquence articulant lois à densité et calcul intégral en terminale scientifique : présentation d’une méthodologie de type ingénierie didactique collaborative, XIXème École d’été de didactique des mathématiques, Paris, du 20 au 26 août 2017.
Durand-Guerrier, V., & Vivier, L. (2016) Densité de D, complétude de R et analyse réelle. Première approche. Actes de la première conférence INDRUM, Montpellier, 31 mars- 2 avril 2016 https://hal.archives-ouvertes.fr/INDRUM2016/public/indrum2016proceedings.pdf
Gibel, P. (2020). Analyse en théorie des situations didactiques d’une ingénierie visant une première approche de la notion de limite finie d’une suite. Revue Québécoise De Didactique Des Mathématiques, 1, 153-189
Gueudet, G., & Thomas, M. (2018). The secondary-tertiary transition in mathematics. In Lerman S. (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education
Hausberger, T., Derouet, C., Hochmuth, R., & Planchon, G. (2021). Compartmentalisation of mathematical sectors: the case of continuous probability distributions and integrals. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education.
Kuzniak A., Montoya E., Vandebrouck F., Vivier, L (2015) Le travail mathématique en analyse de la fin du secondaire au début du supérieur : identification et construction, cours à la 18ième école d’été de didactique des mathématiques, In Y. Matheron, G. Gueudet et al. (Ed.), Enjeux et débats en didactique des mathématiques. Actes de la XIIIème Ecole d’été de didactique des mathématiques 18e école d’été de didactique des mathématiques, Brest, août 2015 (pp 47-66). La Pensée Sauvage
Montoya Delgadillo E., Páez Murillo, R-E., Vandebrouck F., Vivier L. (2018) Deconstruction with Localization Perspective in the Learning of Analysis, IJRUME International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, Volume 4, Issue 1, pp 139–160 – https://doi.org/10.1007/s40753-017-0068-
Rasmussen, C. & Borba, M. (2014). The Teaching and Learning of Calculus – In memoriam Arnold Kirsch, ZDM, 46.4.
Rogalski, M. (2016). Revenir au sens de la notion de limite par certaines de ses raisons d’être : un chantier pour le début de l’analyse à l’université, Actes de la première conférence INDRUM, Montpellier, 31 mars- 2 avril 2016.
Vandebrouck F., Leidwanger S. (2016) Students’ vizualisation of functions from secondary to tertiary level, Proceedings of the First Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2016, 31 March-2 April 2016) (pp. 153-162). Montpellier, France: University of Montpellier and INDRUM.
Vandebrouck F., Hanke, E., Martinez-Planell R. (2021). Task design in Calculus and Analysis, in Durand-Guerrier, V., Hochmuth, R., Nardi, E., Winsløw, C. (Editors) Research and Development in University Mathematics Education. Overview Produced by the International Network for Research on Didactics of University Mathematics (pp 104-124). New-York: Routledge
Winsløw, C., Gueudet, G., Hochmut, R. and Nardi, E. (2018). Research on University Mathematics Education. In: T. Dreyfus, M. Artigue, D. Potari, S. Prediger & K. Ruthven (Eds.), Developing Research in Mathematics Education: Twenty Years of Communication, Cooperation and Collaboration in Europe. London: Routledge.