Algèbre, liens avec la Physique

Thème 2 : Enseignement et apprentissage de l’algèbre linéaire et de l’algèbre abstraite, relations avec l’enseignement de la physique et de l’informatique
Responsables : Marc Lalaude-Labayle (Université de Pau et des pays de l’Adour) – Philippe Lautesse (Université Lyon 1)

Contexte
L’enseignement-apprentissage de l’algèbre linéaire a fait l’objet de nombreux travaux en France autour des années 1990 (Dorier 1997), prenant en compte la nature FUG (formalisateur, unificateur, généralisateur) du savoir enseigné et l’importance des changements de cadres (géométrique, vectoriel, numérique,…) et de points de vue (par exemple des équations aux vecteurs pour développer la notion de rang). Pour autant, ces travaux ont eu peu d’impacts sur le curriculum, d’une part par manque de relais pour leur diffusion, d’autre part en vertu des difficultés à mettre en œuvre les ingénieries didactiques longues proposées. Au niveau international et au vu des difficultés persistantes des étudiants dans l’apprentissage de ce sujet central des cursus de premières années à l’université, différentes études plus ou moins isolées ont été menées (Dorier et Sierpinska 2001) et continuent de l’être, sous différentes perspectives (socioculturelle, cognitive, épistémologique,…). Récemment, Lalaude (2016) a soutenu une thèse présentant des analyses fines de raisonnements d’étudiants et de leurs conditions de production (le milieu) lors d’interrogations orales sur la notion d’application linéaire en première année de CPGE, grâce à des outils sémiotiques (analyse des écritures produites par les étudiants) et la théorie des situations didactiques de Brousseau.
Très peu d’études ont été menées à ce jour sur l’algèbre abstraite, c’est-à-dire l’enseignement-apprentissage des structures algébriques (groupe, anneau, corps…) en fin de licence ou début de master de mathématiques (voir Hausberger 2018b pour une synthèse des travaux internationaux sur ce thème). Deux programmes de recherches notoires ont été conduits aux Etats Unis, autour de Dubinsky dans les années 1990 (approche cognitiviste en appui sur les TICE et la théorie didactique APOS) et plus récemment de Larsen (années 2010, situations de modélisations dans l’esprit de Realistic Mathematics Education), centrés tous les deux sur la théorie des groupes. Cependant, des études montrent que les enseignants d’algèbre s’emparent très peu des propositions de réforme du curriculum issues de ces recherches, malgré les efforts de dissémination. Posant de façon générale la problématique de l’apprentissage de l’algèbre abstraite en termes d’entrée dans la pensée structuraliste, avec ses dimensions méthodologiques (la méthode axiomatique décrite par Bourbaki), Hausberger a ouvert un nouveau programme de recherches utilisant la Théorie Anthropologique du Didactique (Hausberger, 2018a) et un cadre épistémologique dédié au structuralisme (Hausberger, 2017), avec en vue une didactique du structuralisme algébrique . Une thèse en cours vise à développer ce programme dans le cas de la structure d’idéal (Jovignot, 2017).
Enfin, les structures algébriques trouvent applications en physique (par exemple, la théorie des espaces de Hilbert en mécanique quantique) et en informatique (cryptographie, théorie des codes correcteur d’erreur,…), transportant ainsi dans une discipline voisine les enjeux épistémologiques et cognitifs qu’elles portent eu égard du formalisme et de l’abstraction, auxquels se mêlent d’autres enjeux liés à leurs significations et usages extra-mathématiques. Des études montrent que le formalisme de la mécanique quantique est fréquemment introduit avec une approche « instrumentaliste » et « minimale » sur le plan de l’interprétation (Greca & Freire 2014), de sorte que les étudiants ont tendance à s’appuyer sur les modèles de la physique classique et à privilégier une interprétation réaliste qui est problématique en mécanique quantique (Baily & Finkelstein 2010). Du côté de l’enseignement de la MQ au lycée, Lautesse et al. (2015) ont mis en évidence dans les manuels de Terminale l’existence voire la coexistence de deux postures épistémologiques, en réponse aux injonctions institutionnelles. L’une est qualifiée de « conservatrice » (au sens où les concepts de la physique classique sont conservées) et l’autre de « novatrice » (en rupture avec les concepts de la physique classique), lesquelles apparaissent comme des obstacles potentiels pour l’enseignement. Concernant la transition lycée-université, des études sont en cours (un article soumis, et un article en cours de rédaction) par le groupe lyonnais du GDR au niveau L2 (aspects conceptuels, en prolongement à la TS) et L3 (aspects mathématiques). Enfin, on peut observer que la structure LMD et l’autonomie des université ont tendance à produire un repli disciplinaire dans les curricula de licence. Pour lutter contre toutes les tendances à l’isolement disciplinaire, des recherches-actions s’avèrent nécessaire pour préserver et renforcer le sens de notions qui ont été co-construites à la croisée de plusieurs disciplines.

Axes de travail et méthodologie
Le travail s’articulera autour de deux axes :

  • Axe 1 : systématisation des recherches-actions sur l’algèbre linéaire et l’algèbre abstraite, en appui sur les études épistémologiques et didactiques du structuralisme algébrique et en lien avec les mathématiciens
    Il s’agit de concevoir et de mettre en œuvre des modalités de coopération entre mathématiciens et didacticiens qui permettent de : i) systématiser les études didactiques pour consolider les résultats de la recherche ii) disséminer et renforcer la robustesse des ingénieries développées iii) fournir de nouvelles pistes pour appréhender les défis que posent le structuralisme algébrique : rapport au symbolisme et à l’abstraction, dialectique concret-abstrait entre objets et structures, articulations entre concepts et calculs, etc. Pour ce faire, certains nœuds du réseau DEMIPS (Montpellier, Pau,…) serviront de laboratoires ; les protocoles d’études et de recherche et les données recueillies seront discutés et analysés dans le cadre des activités du GDR.
  • Axe 2 : étude des liens entre mathématique et physique dans l’enseignement-apprentissage de la mécanique quantique en fin de licence
    Il s’agit d’abord, grâce à des études épistémologique et didactique, de mettre en évidence les phénomènes de transposition inter-disciplinaires liés à la circulation des connaissances entre les deux disciplines, à la fois au niveau du savoir savant et de l’enseignement, ainsi que les phénomènes de transposition didactique. On comparera l’enseignement des espaces de Hilbert donné en physique à celui d’un cours classique de mathématiques. Une étude fine des systèmes de signes et des écritures produites en situation d’enseignement-apprentissage permettra d’éclairer les rapports entre formalisme mathématique et interprétation physique, donc entre syntaxe et sémantique, et les difficultés liées à leurs articulations. Dans le cadre de la mécanique quantique, on s’intéressera à la notion de vecteur qui permet une pluralité des écritures symboliques pour l’enseignant et donc pour l’étudiant. On peut citer les différents formalismes tels que celui de la fonction d’onde ou celui de Dirac. Ces formalismes permettront de discuter les enjeux épistémologiques et didactiques dans l’enseignement de la MQ (en L2, L3, puis au niveau master).

Les résultats des recherches menées au sein de l’axe 1 viendront irriguer l’axe 2. L’usage extra-mathématique d’une structure algébrique permettra en retour d’éclairer le fonctionnement de raisonnements s’appuyant fortement sur la dimension sémantique et les possibilités d’enseigner un formalisme mathématique abstrait en s’appuyant sur l’étude physique des phénomènes.

Retombées attendues
Outre le développement de la recherche académique en enseignement des mathématiques et de la physique, les travaux du thème 2 ont vocation à conduire à des propositions concrètes de remaniements curriculaires, fondés sur les résultats de la recherche.

Références
Baily, C. & Finkelstein, N. D. (2010). Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses. Physical Review- Special Topics Physics Education Research, 6 (010101).
Dorier, J.-L. (Ed.) (1997). L’algèbre linéaire en question, collection Bibliothèque de Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.
Dorier, J.-L. & Sierpinska, A. (2001). Research into the teaching and learning of linear algebra. In D. Hoton (ed.), The teaching and learning of mathematics at university level. Dordrecht: Kluwer.
Greca, I. & Freire, O. (2014). Meeting the challenge: quantum physics in introductory physics courses. In M. Matthews (ed.), International handbook of research in history, philosophy and science teaching (p. 183-209). Berlin, Heidelberg: Springer.
Hausberger, T. (2018b). Abstract Algebra Teaching and Learning. In S. Lerman (ed.), Encyclopedia of Mathematics Education, 2nd. ed., to appear.
Hausberger T (2018a) Structuralist Praxeologies as a Research Program on the Teaching and Learning of Abstract Algebra. Int J Res Undergrad Math Ed 4(1):74-93.
Hausberger, T. (2017). La dialectique objets-structures comme cadre de référence pour une étude didactique du structuralisme algébrique. Education et Didactique, 11(2), 131-151.
Jovignot, J. (2017) L’analyse épistémologique du concept d’idéal et ses apports à l’étude didactique. In M. Bächtold, V. Durand-Guerrier & V. Munier (eds.), Epistémologie et Didactique. Presses Universitaires de France-Comté.
Lalaude, M. (2016). L’enseignement de l’algèbre linéaire au niveau universitaire – Analyse didactique et épistémologique. Thèse de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour. Récupéré de https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01419021/document
Lautesse, P., Vila Valls, A., Héraud, J.L. & Chabot, H. (2015). Teaching quantum physics in upper secondary school in France: ‘quanton’ versus ‘wave-particle’ duality, two approaches of the problem of reference, Science & Education, 24 (7), 937-955. DOI 10.1007/s11191-015-9755-9.