Th\u00e8me 3 : Arithm\u00e9tique, math\u00e9matiques discr\u00e8tes, algorithmique et interactions math\u00e9matiques-informatique<\/strong> Contexte<\/em> Axes de recherche – Enjeux pour l’enseignement sup\u00e9rieur<\/em>. Retomb\u00e9es attendues<\/em> R\u00e9f\u00e9rences<\/em> Th\u00e8me 3 : Arithm\u00e9tique, math\u00e9matiques discr\u00e8tes, algorithmique et interactions math\u00e9matiques-informatiqueResponsables : Antoine Meyer (Universit\u00e9 de Marne La Vall\u00e9e) et Simon Modeste (Universit\u00e9 de Montpellier) ContexteLes liens entre l\u2019informatique et les math\u00e9matiques sont nombreux et de natures diverses. Ce th\u00e8me s\u2019int\u00e9resse aux domaines math\u00e9matiques suivants : math\u00e9matiques discr\u00e8tes, arithm\u00e9tique et algorithmique, et \u00e0 leurs interactions privil\u00e9gi\u00e9es avec […]<\/p>\n","protected":false},"author":10,"featured_media":0,"parent":841,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"yoast_head":"\n
Responsables<\/em> : Antoine Meyer (Universit\u00e9 de Marne La Vall\u00e9e) et Simon Modeste (Universit\u00e9 de Montpellier)<\/p>\n\n\n\n
Les liens entre l\u2019informatique et les math\u00e9matiques sont nombreux et de natures diverses. Ce th\u00e8me s\u2019int\u00e9resse aux domaines math\u00e9matiques suivants : math\u00e9matiques discr\u00e8tes, arithm\u00e9tique et algorithmique, et \u00e0 leurs interactions privil\u00e9gi\u00e9es avec l\u2019informatique. Certaines questions math\u00e9matiques nouvelles \u00e9mergent du d\u00e9veloppement de l\u2019informatique. En outre, par leur nature discr\u00e8te, ces champs se pr\u00eatent ais\u00e9ment \u00e0 un traitement informatique qui en instrumente leur exploration. Ces domaines s\u2019inscrivent dans l’\u00e9pist\u00e9mologie des math\u00e9matiques \u00ab classiques \u00bb mais ils mettent aussi en jeu des objets et des types de raisonnements sp\u00e9cifiques (Grenier & Payan, 1998 ; Ouvrier-Buffet, 2009 ; Ouvrier-Buffet, Meyer, & Modeste 2018).
En plein essor, ces champs sont au c\u0153ur de nombreuses transformations technologiques r\u00e9centes (cryptographie, traitement automatique de donn\u00e9es, r\u00e9seaux, etc.). Le d\u00e9veloppement d\u2019usages de simulation num\u00e9rique dans toutes les disciplines soul\u00e8ve la question de la conception, la compr\u00e9hension et la manipulation de mod\u00e8les discrets. Pour autant, le travail sur la sp\u00e9cificit\u00e9 du discret, les concepts \u00e9l\u00e9mentaires, th\u00e9ories et raisonnements sous-jacents trouve une place tr\u00e8s variable dans les cursus de premier cycle universitaire de math\u00e9matiques et d\u2019informatique. Le th\u00e8me 3 propose d\u2019aborder ces questions sous les angles \u00e9pist\u00e9mologique et didactique.
L’arithm\u00e9tique a fait l’objet de travaux \u00e9pist\u00e9mologiques et didactiques dans l’enseignement secondaire (Battie, 2007 ; Gardes, 2013 ; Ravel, 2003) et \u00e0 la transition secondaire-sup\u00e9rieur (Battie, 2009). Des \u00e9tudes didactiques se sont int\u00e9ress\u00e9es au cas particulier de l\u2019enseignement de la th\u00e9orie des graphes au lyc\u00e9e et \u00e0 l’universit\u00e9 (Cartier, 2008) et \u00e0 l\u2019enseignement de la preuve via les math\u00e9matiques discr\u00e8tes (Hart & Sandefur, 2018). Ce type de recherche se situe dans un travail collaboratif entre math\u00e9maticiens, informaticiens et didacticiens (par exemple au sein de la F\u00e9d\u00e9ration de Recherche \u00ab Maths \u00e0 Modeler \u00bb). Par ailleurs, math\u00e9maticiens et didacticiens, au niveau international, soulignent l\u2019importance des math\u00e9matiques discr\u00e8tes pour l’enseignement et la formation des enseignants (Hart & Sandefur, 2018 ; DeBellis & Rosenstein, 2004 ; DIMACS, 2001), en lien avec les pr\u00e9conisations des soci\u00e9t\u00e9s savantes (telles que la MAA et la SMF). D\u2019autres travaux interrogent l’enseignement et l\u2019apprentissage de l\u2019algorithmique (Modeste, 2012), ainsi que les apports de l’informatique et de la programmation \u00e0 l’enseignement des math\u00e9matiques (Cornu & Ralston, 1992). Plus g\u00e9n\u00e9ralement, les motifs \u00e9pist\u00e9mologiques \u00e9voqu\u00e9s pr\u00e9c\u00e9demment et l\u2019\u00e9volution profonde des curricula du secondaire rendent la question didactique de l\u2019interaction entre informatique et math\u00e9matiques dans l\u2019enseignement sup\u00e9rieur d\u2019autant plus importante.<\/p>\n\n\n\n
Au centre des pr\u00e9occupations se trouve l’apprentissage du raisonnement et de la preuve, enjeu fondamental de la transition secondaire-sup\u00e9rieur (Gueudet & Thomas, \u00e0 para\u00eetre) et point de discussion central \u00e0 l’interface math\u00e9matiques-informatique (Durand-Guerrier, Meyer & Modeste, \u00e0 para\u00eetre).
Deux types de probl\u00e9matiques sont \u00e0 consid\u00e9rer pour le sup\u00e9rieur. D\u2019une part, certains contenus sont stabilis\u00e9s au sein de la communaut\u00e9 scientifique et sont d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sents dans certaines fili\u00e8res de l\u2019enseignement sup\u00e9rieur, selon les besoins sp\u00e9cifiques de chacune d\u2019elles (par exemple : arithm\u00e9tique, th\u00e9orie des graphes, combinatoire, analyse d\u2019algorithmes\u2026). Ces contenus appellent \u00e0 une \u00e9tude fine des enjeux didactiques relatifs \u00e0 leur enseignement et leur apprentissage : identification des concepts fondamentaux, des obstacles et des difficult\u00e9s pour les \u00e9tudiants, conception et exp\u00e9rimentation de situations d\u2019enseignement. On s\u2019int\u00e9resse \u00e9galement \u00e0 identifier les raisons d\u2019\u00eatre de ces contenus dans les diverses fili\u00e8res.
D\u2019autre part, les champs que nous \u00e9tudions sont une source de probl\u00e8mes in\u00e9dits et accessibles (par exemple : conjectures \u00ab \u00e0 la Erd\u00f6s \u00bb ; probl\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie discr\u00e8te ; optimisation combinatoire), qui peuvent favoriser le d\u00e9veloppement d\u2019une d\u00e9marche de recherche math\u00e9matique et\/ou informatique (apprentissage du raisonnement, de la preuve, de l\u2019exp\u00e9rimentation, de la r\u00e9solution de probl\u00e8mes). Les enseignements optionnels \u00ab r\u00e9solution de probl\u00e8mes \u00bb ou \u00ab initiation \u00e0 la preuve \u00bb offerts aux \u00e9tudiants de certaines institutions s\u2019appuient souvent sur des probl\u00e8mes de nature discr\u00e8te (par exemple tir\u00e9s de la th\u00e9orie des jeux). Au-del\u00e0 de l\u2019\u00e9tude des apprentissages en jeu chez les \u00e9tudiants dans ces dispositifs, on s\u2019int\u00e9ressera aux formations existantes pour comprendre les choix qui sont faits et la nature des objectifs vis\u00e9s.
Transversalement \u00e0 ces deux probl\u00e9matiques, se posent les questions li\u00e9es \u00e0 la simulation et la mod\u00e9lisation discr\u00e8tes, ainsi qu\u2019aux heuristiques de r\u00e9solution sp\u00e9cifiques \u00e0 la structure des objets mis en jeu (par exemple la descente infinie, l\u2019approche diviser pour r\u00e9gner), qui font pour certaines l\u2019objet de th\u00e9ories et d\u2019institutionnalisations ad hoc.
Tous ces enjeux nous placent au c\u0153ur de l’\u00e9pist\u00e9mologie des math\u00e9matiques et de l’informatique, qui doit nourrir le travail existant en didactique des math\u00e9matiques du sup\u00e9rieur mais aussi contribuer au d\u00e9veloppement de la didactique de l’informatique (Arsac, 1989) pour l\u2019enseignement sup\u00e9rieur. <\/p>\n\n\n\n
Ce th\u00e8me tend \u00e0 proposer des solutions tangibles pour \u00ab am\u00e9liorer \u00bb la situation sur le terrain, pallier aux difficult\u00e9s des \u00e9tudiants relatives \u00e0 la preuve et au raisonnement, et \u00e0 la complexit\u00e9 de certains concepts et types de probl\u00e8mes du discret. Pour cela, un \u00e9tat des lieux des enseignements actuels en arithm\u00e9tique, math\u00e9matiques discr\u00e8tes, algorithmique et contenus associ\u00e9s dans les universit\u00e9s est en cours d\u2019\u00e9laboration et de diffusion (en partenariat avec la SMF). Il permettra de pr\u00e9ciser la n\u00e9cessit\u00e9, la place et les modalit\u00e9s d\u2019int\u00e9gration de nos propositions didactiques. Par ailleurs, une \u00e9tude approfondie des contenus enseign\u00e9s (via, par exemple, les objets de la g\u00e9om\u00e9trie discr\u00e8te, les probl\u00e8mes d\u2019optimisation en th\u00e9orie des graphes, la cryptographie) est engag\u00e9e au sein de ce th\u00e8me (voir Ouvrier-Buffet, Modeste & Meyer, 2018) en vue de concevoir des situations d\u2019apprentissage pour le sup\u00e9rieur sur certains concepts math\u00e9matiques et certains types de preuves (exhaustivit\u00e9 des cas, r\u00e9currence et induction structurelle, raisonnement par contre-exemple minimal, raisonnement par l\u2019absurde, identification d\u2019invariants, preuves par exemples g\u00e9n\u00e9riques). De telles situations seront exp\u00e9riment\u00e9es dans des contextes vari\u00e9s (d\u00e9but du sup\u00e9rieur, formation des enseignants, formations des nouveaux enseignants-chercheurs), et les r\u00e9sultats des recherches seront aussi diffus\u00e9s sous la forme de ressources et exploit\u00e9s dans la formation des enseignants du sup\u00e9rieur.<\/p>\n\n\n\n
Arsac, J. (1989). La didactique de l\u2019informatique : un probl\u00e8me ouvert? In Colloque francophone sur la didactique de l\u2019informatique Universit\u00e9 Ren\u00e9 Descartes Paris (pp. 9\u201318).
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